جواب کاردرکلاس صفحه 53 ریاضی دوازدهم

حل تمرین کار در کلاس صفحه 53 ریاضی دوازدهم برای محاسبه حدها، ابتدا با جایگذاری مستقیم $x$ به نقطه حد، نوع ابهام را تعیین می‌کنیم. در صورت وجود ابهام $\frac{0}{0}$، از روش‌های رفع ابهام (تجزیه و ساده‌سازی، ضرب در مزدوج، یا هم‌ارزی) استفاده می‌کنیم. *** ### الف) $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ 1. **بررسی ابهام:** جایگذاری $x = -3$: $\frac{(-3)^2 - 9}{(-3)^2 + 3(-3)} = \frac{9 - 9}{9 - 9} = \frac{0}{0}$. (ابهام) 2. **رفع ابهام (تجزیه):** $$\lim_{x \to -3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)} = \lim_{x \to -3} \frac{x - 3}{x}$$ 3. **محاسبه حد:** $$\frac{-3 - 3}{-3} = \frac{-6}{-3} = \mathbf{2}$$ *** ### ب) $\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4x^2 - 4x + 1}{2x^2 + x - 1}$ 1. **بررسی ابهام:** جایگذاری $x = \frac{1}{2}$: $\frac{4(\frac{1}{4}) - 4(\frac{1}{2}) + 1}{2(\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} - 1} = \frac{1 - 2 + 1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1} = \frac{0}{0}$. (ابهام) 2. **رفع ابهام (تجزیه):** * صورت: $4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$. * مخرج: $2x^2 + x - 1$. چون $x = \frac{1}{2}$ ریشه است، $(x - \frac{1}{2})$ یا $(2x - 1)$ عامل است. $2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1)$. $$\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(2x - 1)^2}{(2x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x - 1}{x + 1}$$ 3. **محاسبه حد:** $$\frac{2(\frac{1}{2}) - 1}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{1 - 1}{\frac{3}{2}} = \frac{0}{\frac{3}{2}} = \mathbf{0}$$ *** ### پ) $\lim_{x \to 3} \frac{4x^2 - 1}{2x^3 - 13x^2 + 24x - 9}$ 1. **بررسی ابهام:** جایگذاری $x = 3$: $\frac{4(9) - 1}{2(27) - 13(9) + 24(3) - 9} = \frac{35}{54 - 117 + 72 - 9} = \frac{35}{0}$. * ابهام $\frac{k}{0}$ است. باید علامت مخرج را تعیین کنیم. 2. **تعیین علامت مخرج:** چون $3$ ریشه مخرج است، $(x - 3)$ یک عامل است. با تقسیم (هورنر یا تقسیم معمولی) $2x^3 - 13x^2 + 24x - 9$ بر $(x - 3)$، خارج قسمت $2x^2 - 7x + 3$ به دست می‌آید. * $2x^2 - 7x + 3 = 0 \implies x = 3, x = \frac{1}{2}$. * پس مخرج $P(x) = 2(x - 3)(x - \frac{1}{2}) = (x - 3)(2x - 1)$. * **خطا:** $P(3) = 0$. باید از ابتدا بررسی کنیم. تقسیم چندجمله‌ای $2x^3 - 13x^2 + 24x - 9$ بر $x-3$ خارج قسمت $2x^2 - 7x + 3$ می‌دهد و باقیمانده صفر است. پس $P(x) = (x-3)(2x^2 - 7x + 3)$. * اکنون $(2x^2 - 7x + 3)$ را در $x=3$ بررسی می‌کنیم: $2(9) - 7(3) + 3 = 18 - 21 + 3 = 0$. * پس $(x-3)$ نیز یک ریشه است. $2x^2 - 7x + 3$ بر $(x-3)$ بخش‌پذیر است. $2x^2 - 7x + 3 = (x-3)(2x-1)$. * $\mathbf{\text{مخرج: } (x - 3)^2 (2x - 1)}$ 3. **علامت مخرج در $x \to 3$:** * $(x - 3)^2$ همواره مثبت است (وقتی $x \ne 3$). * $2x - 1$ در $x \to 3$ مثبت است ($2(3) - 1 = 5$). * پس مخرج به $0^+$ میل می‌کند. 4. **محاسبه حد:** $$\lim_{x \to 3} \frac{35}{(x - 3)^2 (2x - 1)} = \frac{35}{0^+ \times 5} = \mathbf{+\infty}$$ *** ### ت) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x + \sqrt{2x + 3}}$ 1. **بررسی ابهام:** جایگذاری $x = 1$: $\frac{1^2 - 1}{1 + \sqrt{2(1) + 3}} = \frac{0}{1 + \sqrt{5}}$. (عدم ابهام) 2. **محاسبه حد (مستقیم):** چون مخرج مخالف صفر است و تابع پیوسته است، حد برابر مقدار تابع است. $$\frac{1^2 - 1}{1 + \sqrt{2(1) + 3}} = \frac{0}{1 + \sqrt{5}} = \mathbf{0}$$ *** ### ث) $\lim_{x \to 1} \frac{x - \sqrt{x}}{x^2 + x - 2}$ 1. **بررسی ابهام:** جایگذاری $x = 1$: $\frac{1 - \sqrt{1}}{1^2 + 1 - 2} = \frac{0}{0}$. (ابهام) 2. **رفع ابهام (تجزیه و مزدوج):** * صورت: $x - \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)$. * مخرج: $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$. $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{(x - 1)(x + 2)}$$ * $x - 1$ را به صورت $(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$ می‌نویسیم: $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)(x + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1)(x + 2)}$$ 3. **محاسبه حد:** $$\frac{\sqrt{1}}{(\sqrt{1} + 1)(1 + 2)} = \frac{1}{(1 + 1)(3)} = \mathbf{\frac{1}{6}}$$ *** ### ج) $\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt[3]{x + 1}}{x^2 + 3x + 2}$ 1. **بررسی ابهام:** جایگذاری $x = -2$: $\frac{\sqrt[3]{-2 + 1}}{(-2)^2 + 3(-2) + 2} = \frac{\sqrt[3]{-1}}{4 - 6 + 2} = \frac{-1}{0}$. * ابهام $\frac{k}{0}$ است. باید علامت مخرج را تعیین کنیم. 2. **تعیین علامت مخرج:** مخرج $P(x) = x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$. * $\lim_{x \to -2^-}$: $(x + 1)$ منفی ($(-2)^- + 1 = -1^-$)، $(x + 2)$ منفی ($ o 0^-$). مخرج $(-)(-) = 0^+$. * $\lim_{x \to -2^+}$: $(x + 1)$ منفی ($(-2)^+ + 1 = -1^+$)، $(x + 2)$ مثبت ($ o 0^+$). مخرج $(-)(+) = 0^-$. 3. **محاسبه حد یک طرفه (به دلیل متفاوت بودن علائم، حد وجود ندارد.):** * حد چپ: $\lim_{x \to -2^-} \frac{\sqrt[3]{-1}}{0^+} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$ * حد راست: $\lim_{x \to -2^+} \frac{\sqrt[3]{-1}}{0^-} = \frac{-1}{0^-} = +\infty$ $$\mathbf{\text{نتیجه: حد وجود ندارد.}}$$ (زیرا حد چپ و راست برابر نیستند.)